MAKALAH HIMPUNAN dan ANGGOTA-ANGGOTANYA

A.    Latar Belakang

Pada umumnya, belajar matematika identik dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu dengan buku panduan yang sangat tebal dan banyak. Itulah yang menyebabkan para pelajar merasa bosan untuk belajar matematika. Seringkali mereka bertanya, "Apa sih manfaat belajar matematika dalam kehidupan sehari-hari? Apa manfaat Aljabar? Apa manfaat himpunan? Apa manfaat trigonometri?".

Pertanyaan itu mereka lontarkan karena mereka sudah kesal terhadap pelajaran mereka yang terasa membosankan dan tidak perlu. Tetapi sebenarnya, matematika sangat berfungsi dalam kehidupan sehari-hari, baik yang paling mudah sampai yang tersulit sekalipun.

Matematika sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan mampu menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa Matematika sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari Matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu sosial tetap saja ada pelajaran Matematika di dalamnya karena mau tidak mau matematika digunakan dalam aktivitas sehari-hari. Salah satunya penerapan himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai himpunan sangatlah berguna.

Himpunan biasa digunakan dalam matematika dan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam kehidupan sehari-hari kita jumpai pengertian tersebut seperti dalam Himpunan Mahasiswa Jurusan S1 Manajemen STIE Satya Dharma Singaraja, kumpulan koran bekas, koleksi perangko, kelompok belajar, gugus depan dalam pramuka dan kata sejenis lainnya. Kata-kata himpunan, kumpulan, koleksi, kelompok daam kehidupan sehari-hari memiliki arti yang sama.

Himpunan merupakan salah satu dasar dari matematika. Konsep dalam matematika dapat dikembalikan pada konsep himpunan, misalnya garis adalah himpunan titik. Sebetulnya pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat diterima secara intuitif. Mengingat demikian pentingnya teori himpunan, maka dalam kesempatan ini akan dijabarkan beberapa konsep mengenai teori himpunan.

B.     Rumusan Masalah

1)      Bagaimana definisi himpunan?

2)      Bagaimana cara penulisan himpunan?

3)      Bagaimanakah keanggotaan himpunan itu?

4)      Ada berapa macam himpunan itu?

5)      Apa manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari?

C.     Tujuan

Untuk mengetahui tentang himpunan, syarat agar dapat disebut  sebagai himpunan dan ketentuan-ketentuan lainnya dari himpunan.

BAB II PEMBAHASAN

A.    Pengertian Himpunan

Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika. Gerorg Cantor  dianggap sebagai  Bapak teori himpunan. Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. Istilah didefinisikan dengan jelas dimaksukkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi atau tidak.

Anggota atau elemen adalah benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam sebuah himpunan.

Contoh:

Himpunan yang merupakan himpunan:

-          Himpunan anak yang berusia 12 tahun

-          Himpunan bilangan asli genap

-          Himpunan pulau-pulau di Indonesia

Himpunan yang bukan merupakan himpunan:

-          Himpunan anak-anak malas

-          Himpunan wanita-wanita cantik

-          Himpunan lukisan indah

B.     Cara Penulisan Himpunan

Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan

1)      dengan menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Cara ini disebut juga cara Tabulasi.

Contoh:     A = {a, i, u, e, o}

B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}

2)      menyebutkan syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.

Contoh: ambil bilangan asli kurang dari 5

A = bilangan asli kurang dari 5

3)      Notasi Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggotanya.

Contoh Soal :

Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan tiap-tiap anggotanya dan sifat-sifatnya himpunan berikut ini :

1.            A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

2.            B adalah himpunan mata kuliah yang anggotanya adalah : kalkulus, logika matematika, matematika diskrit, statistika, fisika

3.            C adalah himpunan bilangan riil yang lebih besar dari 5

4.            D adalah himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 4, 6, 8, 10

5.            E adalah himpunan bilangan riil lebih kecil dari 5 dan lebih besar dari 10

Penyelesaian :

1.            A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

      ·       Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

               A = {2, 3, 4, 5}

                  ·       Dengan menulis sifat-sifatnya

            A = {x | 1 < x < 6, x Î Asli}

2.            B adalah himpunan mata kuliah yang anggotanya adalah : kalkulus, logika matematika, matematika diskrit, statistika, fisika

         ·       Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

B = {kalkulus, logika matematika, matematika diskrit, statistika, fisika}.

         ·       Dengan menulis sifat-sifatnya

B tidak bisa dituliskan sifat-sifatnya, karena tidak ada sifat yang sama di antara anggota-anggotanya

3.            C adalah himpunan bilangan riil yang lebih besar dari 5

·         Dengan menulis tiap-tiap anggotanya C tidak bisa dituliskan anggota-anggotanya, karena jumlah anggota C tak terhingga.

·         Dengan menulis sifat-sifatnya

C = {x | x > 5, x Î Riil}      

4.            D adalah himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 4, 6, 8, 10

·         Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

D = {2, 4, 6, 8, 10}

·         Dengan menulis sifat-sifatnya

D = {x | x adalah 5 buah bilangan asli pertama yang genap}

5.            E adalah himpunan bilangan riil lebih kecil dari 5 dan lebih besar dari 10

·         Dengan menulis tiap-tiap anggotanya

      E = tidak bisa dituliskan anggota-anggotanya, karena jumlah anggota E tak terhingga.

·         Dengan menulis sifat-sifatnya

E = {x | x < 5 dan x > 10, x Î Riil}

4)      Himpunan juga dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn).

Penyajian himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam segiempat tersebut.

Contoh :

Gambarkan dengan diagram Venn himpunan-himpunan  berikut ini :

1.      S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

2.      S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 3, 7} dan B = {2, 4, 6}

3.      S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 3, 7}

         Penyelesaian :

1.            S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

                 Diagram Venn :                

2.            S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 3, 7} dan B = {2, 4, 6}

                  Diagram Venn :                                        

 

3.            S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 3, 7}

         Diagram Venn :

 

C.    Keanggotaan Himpunan (Menurut Buku Ensiklopedia Matematika)

Himpunan selalu dinyatakan dengan huruf besar,seperti A,B,C,dan seterusnya. Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “Δ (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambing” Ï” (baca: bukan anggota).

A = {a, b, c} menyatakan bahwa himpunan A anggota-anggotanya adalah a, b, dan c.

Ditulis: a Î A; b Î A; dan c Î A

Bukan keanggotaan suatu himpunan A.

Jika A = {a, b, c} maka d bukan anggota himpunan A.

Ditulis: d Ï A. Banyaknya anggota himpunan

·         Banyaknya unsur dari suatu himpunan disebut bilangan cardinal dari himpunan tersebut │A│dibaca “banyaknya anggota himpunan A, kardinal (A).

Contoh Soal:

Tentukan kardinalitas dari himpunan berikut :

1.            A = {2, 4, 6, 8, 10}

2.            B = {x | 1 < x < 6, x Î Asli}

3.            C = {x | x > 5, x Î Riil}

4.            D = {x | x bilangan cacah yang lebih kecil dari 10}

5.            E = {x | x bilangan prima yang lebih kecil dari 15}

         Penyelesaian :

1.            A = {2, 4, 6, 8, 10}

                  n (A) = 5

2.            B = {x | 1 < x < 6, x Î Asli}

                  B = {2, 3, 4, 5}

                  n(B) = 4

3.            C = {x | x > 5, x Î Riil}

                  n(C) = ~

4.            D = {x | x bilangan cacah yang lebih kecil dari 10}

                  D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9}

                  n(D) = 10

5.            E = {x | x bilangan prima yang lebih kecil dari 15}

                  E = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

            n(E) = 6

D.    Macam-Macam Himpunan (Menurut buku Ensiklopedia Matematika)

1)      Himpunan Bagian (Subset).

Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.

Dinyatakan dengan simbol :   A ⊂  B  

Syarat :

A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B

A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

Contoh :

Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka         B ⊂ A

Sebab  setiap  elemen  dalam  B merupakan  elemen  dalam A,  tetapi  tidak sebaliknya.

Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A  juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.

2)      Himpunan Kosong (Nullset)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.

Syarat :

Himpunan kosong = A atau { }

Himpunan kosong adalah tunggal

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.

Sebab : { 0 } ≠ { }

Contoh :

A = {x Î R |x² + 4 = 0 }

Dalam hal ini jelas tidak ada harimau yang hidup di air  maka A = ø

Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).

3)      Himpunan Semesta

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.

Contoh : Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah: U = himpunan bilangan cacah

4)      Himpunan Berhingga

Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a  bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.

Contoh :

a. A =  karena                                                        n(A) = 0, 0  bilangan cacah.

b. B =                                                        n(B) = 75, 75  bilangan cacah.

5)      Himpunan Tak Berhingga

Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.

Contoh :

Q=

Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q tidak akan berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q) = ~.

6)      Himpunan Sama (Equal)

Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.

Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.

Contoh :

A ={ c,d,e}

B={ c,d,e }

Maka A = B

Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.

7)      Himpunan Lepas

Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.

Contoh  C = {1, 3, 5, 7}   dan  D = {2, 4, 6}  Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.

Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama

8)      Himpunan Komplemen (Complement set)

Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi A^C . Himpunan komplemen jika di misalkan U = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi A^C = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis : A^C = {x│x Î U, x Ï A} 

9)      Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.

Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,

Contoh :

A = { w,x,y,z }→n (A) = 4

B = {  r,s,t,u   } →n  (B) = 4

Maka n (A) =n (B) →A≈B

Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A  beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.

E.     Operasi pada Himpunan

a)      Gabungan

Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi : A È B = {x | x Î A Ú x Î B}

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

Diagram Venn :                      

                     A È B = {0, 1, 3, 5, 7, 9}

b)      Irisan

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan anggota himpunan B.

Notasi : A Ç B = {x | x Î A Ù x Î B}

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

Diagram Venn :

 

            A Ç B = {3, 7}

c)Komplemen

Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A.

Notasi : A^c = {x | x Î S Ù x Ï A} atau  = {x | x Î S Ù x Ï A}

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7}

Diagram Venn :

 

                  A^C = {0, 2, 4, 6, 8, 9}

d)     Selisih

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A dan B adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A.

Notasi : A – B = {x | x Î A Ù x Ï B} atau A – B = A Ç

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}          

Diagram Venn :

 

                  A – B = {1, 2}

e)Beda Setangkup

Beda Setangkup (symetric difference) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi : A Å B = (A È B) – (A Ç B) atau : A Å B = (A – B) È (B – A)

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 7} dan B = {0, 3, 7, 9}

Diagram Venn :

 

 

 

 

 

            A Å B  = {1, 2, 8, 9}

F.     Sifat-sifat Operasi pada Himpunan

1)      Hukum Identitas

                  a)      A È f = A

         b)      A Ç S = A

         c)      A Å f = A

2)      Hukum Null

                  a)      A Ç f = f

                  b)      A È S = S

                  c)      A Å A = f

3)      Hukum Komplemen

                  a)      A È A^c = S

                  b)      A Ç A^c = f

4)      Hukum Idempoten

                  a)      A È A = A

                  b)      A Ç A = A

5)      Hukum Involusi

                  (A^c)^c = A

6)      Hukum Penyerapan

                  a)      A È (A Ç B) = S

b)            A Ç (A È B) = A

7)      Hukum Komutatif

                  a)      A È B = B È A

                  b)      A Ç B = B Ç A

                  c)      A Å B = B Å A

8)      Hukum Asosiatif

                  a)      A È (B È C) = (A È B) È C

                  b)      A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C

                  c)      A Å (B Å C) = (A Å B) Å C

9)      Hukum Distributif

                  a)      A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

                  b)      A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

10)  Hukum De Morgan

                  a)      (A Ç B) ^c = A ^c È B ^c

                  b)      (A È B) ^c = A ^c Ç B ^c

G.    Manfaat Belajar Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Sehari

Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:

1)      Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.

2)      Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.

3)      Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.

4)      Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.

5)      Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.

6)      Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

H.    Contoh Penerapan Soal Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Berikut ini merupakan beberapa contoh kasus teori himpuanan dalam kehiupan sehari-hari.

Soal:

1.      Dalam sebuah kelas terdapat 40 orang siswa, 24 orang gemar musik 30 orang gemar olah raga dan 16 orang gemar keduanya. Tentukan banyaknya siswa yang gemar musik saja dan yang gemar olahraga saja?

2.      Dari survey 100 orang warga terdapat 60 orang gemar membaca 50 orang gemar menulis, 45 orang gemar melukis, 40 orang gemar melukis dan menulis, 35 orang gemar membaca dan melukis, 30 orang gemar ketiganya. Tentukan :

a)      Orang yang gemar melukis dan menulis saja

b)      Orang yang gemar membaca dan melukis saja

c)       Orang yang gemar membaca saja

d)     Orang yang gemar menulis saja

e)      Orang yang gemar melukis saja

f)       Orang yang tidak suka ketiganya

Penyelesaian:

1.      Perhatikan dalam soal tersebut terdapat dua himpunan siswa  yaitu siswa yang gemar musik dan siswa yang gemar olahraga. Siswa yang gemar keduanya sebanyak 16 orang. Dalam konsep himpunan, anggota yang gemar keduanya merupan anggota irisan sehingga dapat dicari siswa yang gemar musik saja dan siswa yang gemar olahraga saja. Perhatikan gambar berikut :

Karena irisan siswa yang gemar keduanya sebanyak  16 orang sehingga siswa yang hanya gemar Musik dan olah raga saja yaitu : 

Musik = 24 – 16 = 8 

Olahraga = 30 – 16 = 14 

Dengan demikian  himpunan semestanya : 

S = 8 + 14 +16 = 40 siswa.

2.      Dari soal nomor 2, terdapat tiga himpunan yang berbeda yaitu yang gemar membaca, menulis dan melukis. Untuk menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu kita  cari irisan ketiganya. Sehingga dapat disimpulkan :

Misal : B = Membaca, N = Menulis, L = Melukis

a)      Orang yang gemar melukis dan menulis saja: 40 – 30 = 10 orang

b)      Orang yang gemar membaca dan menulis saja: 35 – 30 = 5 orang

c)      Orang gemar membaca saja: 60 – 30 – 5 = 25 orang

d)     Orang yang gemar menulis saja: 50 – 30 – 10 = 10 orang

e)      Orang yang gemar melukis saja: 45 – 45 = 0, maka orang yang gemar melukis saja merupakan himpunan kosong

f)       Orang yang tidak suka ketiganya: 100 – 25 – 30 – 5 – 10 – 10 = 20 orang

BAB III

PENUTUP

A.    Simpualan

Ada beberapa hal yang bisa disimpulkan dalam pembuatan makalah ini, diantaranya yaitu:

1.      Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.

2.      Dengan mempelajari Himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis.

B.     Saran

            Tanpa kita sadari ternyata begitu banyak manfaat dari aplikasi matematika untuk kehidupan sehari-hari. Baik dalam bidang ekonomi, pendidikan, dan dalam berbagai disiplin ilmu yang lainya. Oleh karena itu penulis menyarankan agar kita lebih seius dalam mempelajari matematika dan jangan dijadikan matematika sebagai sesuatu yang menyeramkan untuk dipelajari karena matematika adalah bagian sangat dekat yang tak terpisahkan dari kehidupan kita.

DAFTAR PUSTAKA

Lipschuts,S; Silaban, P. 1985. Teori Himpunan. Jakarta: Erlangga.

http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_28matematika29 diakses pada tanggal 25 Juni 2013

http://nurdhinlengke.blogspot.com/2013/03/makalah-himpunan.html diakses pada tanggal 25 Juni 2013

http://rumushitung.com/2013/05/25/soal-himpunan-matematika-dan-pembahasannya diakses pada tanggal 25 Juni 2013